最大后验概率模型
相位恢复的基本概念
在光学成像及相关领域中，诸如 CCD 或 CMOS 相机等探测器仅对光的强度敏感，而该强度与复光场幅值的平方成正比。光学系统中观测到的强度分布来源于波前的传播过程，而其演化由底层的相位分布所决定。如图 1所示，在最简单的情况下，传统基于透镜的成像系统会将波前曲率映射为具有特征的强度分布，例如聚焦或离焦的光斑。随着光学系统变得更加复杂——例如引入倾斜、像差或结构化相位元件——所得的强度分布将反映出越来越复杂的干涉效应，从而编码丰富的相位信息。
当光波通过透明或弱散射样品传播时，会在入射波场上引入空间变化的相位延迟，从而在传播后产生复杂的强度调制。尽管这些强度模式看起来可能较为不规则，但它们本质上是由波前的相位分布所决定的。值得注意的是，这类由样品引起的强度变化可以被解释为若干基本相位调制的相干叠加，包括聚焦、发散、横向位移以及类似涡旋的相位结构 [46, 81]。从这一角度来看，相位恢复的目标是对强度形成过程进行反演，将观测到的强度模式分解为其对应的相位分量。通过恢复产生测量强度的潜在相位分布，相位恢复为将复杂的光学测量与底层波前变换建立联系提供了一种有原则的方法，从而实现对光场的定量解释、控制与操纵。
式 (1) 给出了定义在二维笛卡尔坐标系下的标量光波的表达形式，
其中光强\(I = {\left| U \right|^2}\)，相位为\(\varphi \left( {x,y} \right)\)。相位恢复的目标是重建缺失的相位信息，从而在仅有强度测量的情况下恢复完整的波前。
Gerchberg–Saxton（GS）算法是一种经典的相位恢复迭代方法，该方法通过前向与反向传播算子在物平面与测量平面之间交替进行计算。如图 2（a）所示，（a）在每一个域中施加已知的振幅约束，同时对相位进行迭代更新。这种交替投影策略旨在寻找一个能够同时满足两个平面中强度测量约束的光场。尽管方法形式简单，但由于约束集合的非凸性，GS 算法往往存在停滞现象，并且对初始值较为敏感。
为缓解这些问题，混合输入–输出（HIO）算法引入了一种反馈机制，如图 2（b）所示，其中对于违反约束的部分不再直接覆盖，而是施加惩罚。通过引入前一轮迭代的信息，HIO 提高了收敛性，并有助于算法跳出局部极小值。
GS 与 HIO 算法体现了相位恢复中的两类基础方法：严格的交替投影方法以及引入反馈机制的迭代更新方法。它们至今仍作为许多现代基于优化与学习辅助的相位恢复方法的概念基础。然而，GS 和 HIO 本质上都是启发式算法，其更新规则并未显式地从底层物理前向模型或推断目标函数中推导得到。这也促使人们发展一种更加统一的建模方式，将波动物理、测量过程以及算法设计直接联系起来。
波的传播、衍射、傅里叶变换以及透镜操作的物理过程，在复光场上均是线性的。相比之下，实际探测器只能记录离散采样的强度测量。这种差异促使我们对相干成像系统建立一种自然的线性–二次型表述。
对问题进行离散化后，物体波前可以表示为一个包含n个像素的复向量\({\bf{u}} \in {\mathbb{C}^n}\)。成像系统可以表示为矩阵\({\bf{A}} \in {\mathbb{C}^{m \times n}}\)，其中包含将源波场\({\bf{u}}\)传播到探测面光场的算子，即\({\bf{y}} = {\bf{Au}}\) ，其中\({\bf{y}} \in {\mathbb{C}^m}\)。测量得到的强度如式 (2) 所示：
其中模运算为逐元素计算。符号\({\bf{\varepsilon }}\)表示如高斯噪声的加性噪声，其可能来源于探测器读出波动、光子散粒噪声或其他环境扰动。
这种矩阵–向量表示具有多方面的重要优势，具体体现在以下几个方面：
- 物理准确性—— 它提供了一种紧凑的方式来表征传播、傅里叶变换以及复用测量等线性光学过程。
- 算法清晰性—— 它明确揭示了相位恢复问题是一个二次型的非凸问题，同时也简化了梯度计算所需的数学表达。
- 优化适配性—— 它自然地将相位恢复问题表述为优化或推断问题，从而便于利用现代计算工具。
- 理论关联性—— 它在相位恢复与线性代数及优化理论之间建立联系，为凸松弛、变分方法以及基于学习的方法提供了理论基础。
式 (2) 构成了相位恢复的前向模型。该前向模型揭示了相位恢复问题的两个关键特性。首先，从\({\bf{u}}\)到\({\bf{I}}\)的映射是非凸且非线性的，因为探测器仅保留传播后光场的幅值平方。其次，噪声\({\bf{\varepsilon }}\)的存在进一步加剧了问题的病态性，使得重建结果对实验误差与建模误差都十分敏感。基于这些原因，将未知光场\({\bf{u}}\)视为随机变量，并将重建过程看作一个在数据一致性与先验知识之间进行权衡的推断问题，是一种自然且有效的建模方式。
在传统的优化视角下，相位恢复问题通常被表述为一个目标函数最小化问题，其一般形式可写为式 (3)
其中\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)表示数据保真项，用于刻画当前估计与观测数据之间的一致性；\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)表示正则项或惩罚项，用于引入对解的先验约束，例如平滑性、稀疏性或物理可行性等。
在这一框架下，不同相位恢复算法的设计主要体现在对\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)与\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)的具体形式选择上。例如，基于强度或振幅的最小二乘模型对应不同的数据保真项，而诸如总变分、稀疏先验或支持约束等则构成不同形式的正则化项。尽管这种“数据项 + 正则项”的形式在优化中被广泛采用，但其构造在一定程度上仍具有经验性特征，本质上类似于在优化中通过引入额外惩罚项（如增广拉格朗日方法中的做法）来调节约束与优化行为。缺乏统一的概率解释。
进一步地，从统计推断的角度来看，这一优化形式可以被自然地解释为最大后验概率（MAP）估计问题。其中，数据保真项\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)对应于似然函数的负对数形式，用于描述观测数据在给定模型下的生成概率；而正则项\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)则对应于先验分布的负对数形式，用于刻画对未知变量的先验认知。在这一意义下，传统的优化目标函数并非任意构造，而是来源于概率模型下的统一推断框架。
因此，在深入讨论 MAP 之前，有必要首先系统分析似然函数与惩罚函数的构造方式。尤其是似然函数的建立，不同的噪声假设（例如高斯噪声、泊松噪声等）将导出不同形式的数据一致性项，从而对应不同的优化目标、梯度形式以及收敛行为。相较而言，惩罚函数则更多反映了对未知解结构特性的先验约束，例如平滑性、稀疏性、支持域限制或其他物理可行性条件。二者共同决定了重建问题的数学形式与求解性质，也构成了后续 MAP 统一表述的核心组成部分。基于这一认识，下面将首先从似然函数出发，讨论其统计含义、典型形式及其与物理测量模型之间的关系。
似然函数
在引入最大后验估计（Maximum A Postiriori, MAP）之前，有必要简要回顾最大似然估计（Maximum likelihood estimation, MLE），它构成了 MAP 的基础。MLE 由 Ronald A. Fisher 于 20 世纪早期提出，是统计学与机器学习中最广泛使用的工具之一，为统计模型参数的估计提供了一种系统性方法。其核心思想十分直接：在给定观测数据与参数化模型的情况下，MLE 寻找使观测数据在该模型下出现概率最大的参数值。
在相位恢复的背景下，似然函数将物理前向模型与测量噪声联系到重建目标之中。直观地说，似然函数\({P}\left( {{\bf{I}}|{\bf{u}}} \right)\)描述在给定候选光场\({\bf{u}}\)时观测到的强度有多大的可能性；其中\({P}\)表示概率密度函数。在MLE表述中，其负对数形式对应于数据保真项，用于约束解与测量数据之间的一致性。该推断过程可以通过中的类比图 3来理解。在 MLE 框架下的相位恢复问题对应于寻找使似然函数最大的\({\bf{u}}\)。在数学上，\({\bf{I}}\)表示观测到的强度，\({\bf{u}}\)表示未知的复光场，而\({P}\left( {{\bf{I}}|{\bf{u}}} \right)\)的具体形式由测量噪声的统计特性所决定。
不同的噪声信号会导致不同的似然项，从而产生不同的优化行为。加性高斯噪声对应于平方误差形式的似然，而泊松噪声——在光子受限成像中十分常见——则对应于符合光子计数统计的对数似然。这种灵活性使得真实测量的统计特性可以直接融入到重建过程中。因此，最大化似然函数等价于在假设的测量模型下，寻找能够最好解释观测数据的\({\bf{u}}\)的估计。
在相位恢复及其他反问题中，最常用的统计模型之一是高斯似然。当测量噪声可以合理地建模为加性高斯噪声时，该模型自然成立。在实际中，这类噪声来源包括探测器读出波动、电子电路中的热噪声，或大量独立随机扰动的叠加，在这些情况下中心极限定理支持采用高斯近似。
假设式中的加性噪声满足高斯分布，即\({\varepsilon _i} \sim {N}\left( {0,{\sigma ^2}} \right)\)，其中i表示离散像素的索引。若进一步假设噪声样本是相互独立且同分布的高斯随机变量，则每个观测强度Ii也是一个均值为\(\left| {Au} \right|_i^2\)、方差为\({\sigma ^2}\)的高斯随机变量。对于单个像素i，其概率密度函数可以表示为
由于各测量之间的噪声是独立的，联合似然函数\({P}\left( {{\bf{I}}|{\bf{u}}} \right)\)可以分解为各像素概率的乘积：
式进一步写成向量形式为
在优化中，通常对负对数似然进行操作，即：
式中的第一项与\({\bf{u}}\)无关，因此在求解极小值时可以忽略。于是，最大化似然\({P}\left( {{\bf{I}}|{\bf{u}}} \right)\)等价于最小化平方残差：
由于式的数学形式简洁且与最小二乘优化具有天然联系，高斯似然在相位恢复中被广泛采用。许多早期的迭代投影算法，例如 Gerchberg–Saxton 方法、误差约减（error-reduction）算法以及混合输入–输出（HIO）方法，都可以被解释为最小化测量与估计之间的平方误差，这本质上对应于假设高斯测量噪声。
在光子受限成像条件下（如低照度显微成像、X 射线成像等），测量噪声通常更适合建模为泊松分布而非高斯分布。在这种情况下，探测器记录的强度可以被视为光子计数，其统计特性服从泊松分布。
假设式 (2) 中的离散前向模型，其中观测强度\({I_i}\)服从均值为\(\left| {Au} \right|_i^2\)的泊松分布，则单个像素i的概率质量函数为：
在假设各像素观测相互独立的情况下，联合似然函数可以表示为：
对式取负对数似然，可得：
其中，项\(\log \left( {{I_i}!} \right)\)与未知变量\({\bf{u}}\)无关，在优化过程中可以忽略。因此，对应的最大似然估计等价于最小化如下目标函数：
其中\(\odot\)表示两向量的Hadamard积（逐元素相乘）。
与高斯似然相比，泊松似然对应的损失函数是非二次形式，其梯度具有自适应加权特性，在低光子计数条件下能够更准确地刻画噪声统计特性，从而显著提升重建的鲁棒性。因此，泊松似然在光子受限成像场景中被广泛采用，并构成许多现代相位恢复算法的重要基础。
表 1 系统总结了相位恢复中常用的似然模型，并给出了对应的负对数似然函数以及相对于复物体场\({\bf{u}}\)的 Wirtinger 梯度。在最大后验（MAP）框架下，似然函数的选择直接决定了数据一致性项\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)的具体形式，从而影响重建过程中对测量误差的惩罚方式。更重要的是，每一种似然模型都隐含对应的噪声假设，将实际测量中的统计特性与算法更新规则紧密联系起来。
| 似然模型 | \(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\) | 噪声模型 |
|---|---|---|
| Gaussian （光强） | \(\left\| {{{\left| {\bf{y}} \right|}^2} - {\bf{I}}} \right\|_2^2\) |
加性高斯噪声 光强域 |
| Gaussian （振幅） | \(\left\| {\left| {\bf{y}} \right| - \sqrt {\bf{I}} } \right\|_2^2\) |
加性高斯噪声 振幅域 |
| Gaussian （γ-矫正） | \(\left\| {{{\left| {\bf{y}} \right|}^{2\gamma }} - {{\bf{I}}^\gamma }} \right\|_2^2\) |
加性高斯噪声 γ-矫正域 |
| Poisson |
\[{\left| {\bf{y}} \right|^2} - {\bf{I}} \odot \log \left( {{{\left| {\bf{y}} \right|}^2} + \varepsilon } \right)\] (13)
|
光子受限噪声 |
| Anscombe-Gaussian | \(\left\| {2\left| {\bf{y}} \right| - 2\sqrt {{\bf{I}} + 3/8} } \right\|_2^2\) | 稳定方差泊松分布近似 |
| Poisson-Gaussian |
\[\frac{{{{\left( {{{\left| {\bf{y}} \right|}^2} - {\bf{I}}} \right)}^2}}}{{{{\left| {\bf{y}} \right|}^2} + \varepsilon }}\] (14)
|
泊松分布二阶近似 加权最小二乘 |
| Laplacian | \({\left\| {\left| {\bf{y}} \right| - \sqrt {\bf{I}} } \right\|_1}\) |
重尾分布加性噪声 离群点 |
| Hyper-Laplacian \(p \in \left( {0,1} \right]\) | \(\left\| {\left| {\bf{y}} \right| - \sqrt {\bf{I}} } \right\|_p^p\) | 稀疏噪声 |
| Laplacian （梯度） | \({\left\| {\nabla \left| {\bf{y}} \right| - \nabla \sqrt {\bf{I}} } \right\|_1}\) | 图像梯度特征域噪声 |
| Huber | \({\rho _\delta }\left( {{{\left| {\bf{y}} \right|}^2} - {\bf{I}}} \right)\) | 混合高斯-拉普拉斯噪声 |
| 结构相似度 | \(1 - {\rm{SSIM}}\left( {\left| {\bf{y}} \right|,\sqrt {\bf{I}} } \right)\) | 图像相似度指标 |
一个重要的认识是，许多经典与现代相位恢复算法之间的差异，本质上主要来源于其似然建模的不同，而非优化框架本身的差异。例如，广泛使用的基于振幅的最小二乘模型，对应于在测量振幅上施加高斯噪声假设；而基于强度的模型则假设强度服从高斯噪声。这两种建模方式虽然形式上均表现为二次误差最小化，但由于作用空间不同，其对应的梯度形式与收敛行为存在显著差异。
在光子受限成像条件下，泊松及泊松–高斯混合似然模型具有更强的物理合理性。这类模型自然地刻画了散粒噪声与读出噪声的统计特性，其对应的数据一致性项通常为非二次形式，并引入依赖于当前\({\left| {{\bf{Au}}} \right|^2}\)估计的自适应权重。这种机制在低光照条件下显著提升了重建的鲁棒性，并将相位恢复问题与统计成像理论紧密联系起来。进一步地，通过方差稳定变，可以将泊松噪声近似转化为高斯形式，从而在保持统计一致性的同时简化优化过程。除了高斯与泊松模型之外，实际应用中还广泛采用重尾分布对应的似然函数，例如拉普拉斯分布、超拉普拉斯分布以及 Huber 损失等。这类模型在存在异常值、模型失配或测量污染时具有更强的鲁棒性，其本质体现为对残差的非线性加权，从而抑制大误差对优化过程的主导作用。值得注意的是，这些方法在经验上取得良好效果的同时，也为许多鲁棒相位恢复算法提供了统一的理论解释。
综上所述，似然函数刻画了在给定物理模型与噪声假设下，观测数据对未知复场\({\bf{u}}\)的约束方式，其本质对应于数据一致性项\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)的具体形式。不同似然模型通过引入不同的统计假设，决定了残差的度量方式与梯度结构，从而影响优化过程中的收敛行为与重建性能。然而，仅依赖似然函数所描述的数据约束，往往难以唯一确定解。特别是在某些单幅图相位恢复这类典型的非凸、欠定逆问题中，测量信息的不完备性与噪声扰动会导致解空间中存在大量等价或近似等价的候选解。因此，有必要在数据一致性之外进一步引入对解结构的约束，以缩小可行解空间并提升重建的稳定性与可解释性。从统计推断的角度来看，这类约束可以自然地通过先验分布加以建模，并对应于目标函数中的正则项\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)。不同先验模型反映了对物体结构特性的不同假设，例如平滑性、稀疏性、支持约束或更复杂的统计依赖关系等。
基于上述认识，下一节将进一步讨论相位恢复中的先验建模方法，重点分析常见先验形式及其在优化过程中的作用机制。
先验函数
尽管似然函数刻画了候选解对观测数据的解释能力，但在许多单次测量或噪声污染较强的情形下，仅依赖似然函数仍不足以完全解决相位恢复问题。由于探测器仅记录光强信息，反演过程在本质上是病态的：多个不同的解可能对应相同的测量结果，而噪声与模型误差的存在会进一步降低重建的稳定性。这种不确定性可以通过图 4中的类比直观理解：观测数据只能将解约束在一组可能的候选解范围内，而无法唯一确定真实解。为了解决这一问题，必须引入关于待重建对象的额外信息，而先验函数正是在这一过程中发挥关键作用。
先验函数用于刻画在观测数据之外，对未知对象所持有的先验认知或假设。这些假设可以来源于物理约束，例如非负性、有界支撑或平滑性；也可以来源于更抽象的结构规律，例如稀疏性、分段连续性或纹理模式等。如图 4所示，先验知识的作用在于从多个与观测一致的候选解中，筛选出最为合理的解。通过将这些先验信息融入重建过程，先验项可以作为一种“稳定化机制”，引导解收敛到在物理意义或语义层面上更为可信的结果。
类似于似然项，先验同样可以从图像内在属性的统计建模中得到，其中最常见的是对图像梯度的建模。大量经验研究表明，自然图像的梯度分布通常呈现出明显的重尾特性，而非高斯分布。这一现象可以通过超拉普拉斯（hyper-Laplacian）分布进行建模。
假设图像梯度幅值满足如下分布形式：
其中\(\nabla {u_i}\)表示第i个像素的梯度，\(\alpha \)为控制先验强度的参数。进一步假设各像素之间相互独立，则联合先验分布可以写为：
对先验分布取负对数，可得到对应的正则项形式：
\(- \log {P}\left( {\bf{u}} \right) = \alpha \left\| {\nabla {\bf{u}}} \right\|_p^p\)
即对图像梯度施加\({L_p}\)范数约束。当\(p = 1\)时，上述模型退化为经典的全变分（Total Variation, TV）先验。
先验函数的设计一直是相位恢复等图像恢复领域的重要研究方向，涵盖了从经典的手工设计正则项到近年来基于深度学习的数据驱动模型。传统方法通常依赖于诸如全变分（TV）、变换域稀疏性或平滑性约束等先验，这些方法能够有效地刻画简单而具有代表性的结构特征。近年来，随着大规模图像数据与神经网络的发展，从数据中学习得到的先验模型逐渐兴起，使得重建结果能够捕获传统手工先验难以描述的复杂结构特征。总体而言，这些先验与似然项相互补充，在数据一致性与结构合理性之间实现平衡。
表 2 总结了相位恢复中常用的正则化方法与先验模型，并对其数学形式、实际优势以及固有局限进行了归纳。在 MAP 框架下，这些先验共同构成正则项\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)，在稳定病态反问题与约束解空间方面发挥核心作用。需要指出的是，不同先验模型对应不同的结构假设，其有效性高度依赖于具体的样本特性与测量条件。
| 先验/正则化 | 数学形式 | 特点 | 局限性 |
|---|---|---|---|
| Tikhonov 正则化 | \(\left\| {\bf{u}} \right\|_2^2\) 或\(\left\| {\nabla {\bf{u}}} \right\|_2^2\) | 强噪声抑制；凸优化问题，易于求解 | 易过度平滑边缘与细节结构 |
| \({L_1}\)稀疏性 | \({\left\| {\bf{u}} \right\|_1}\) | 凸稀疏先验，对应拉普拉斯分布 | 在不连续处引入幅值收缩与偏差 |
| \({L_0}\)稀疏性 | \({\left\| {\bf{u}} \right\|_0}\) | 促进分段常数或高度稀疏解 | 强非凸，优化困难（NP-hard） |
|
梯度域\({L_1}\)稀疏 （全变分正则化） |
\({\left\| {\nabla {\bf{u}}} \right\|_1}\) | 保持边缘；为\({L_0}\)梯度的凸近似 | 可能产生阶梯效应 |
| 梯度域\({L_0}\)稀疏 | \({\left\| {\nabla {\bf{u}}} \right\|_0}\) | 保持锐利边缘且无幅值收缩 | 强非凸，NP-hard |
| 变换域\({L_1}\)稀疏 | \({\left\| {{W}{\bf{u}}} \right\|_1}\) | 在变换域（小波、DCT、傅里叶）中促进稀疏性 | 依赖变换选择 |
| 超拉普拉斯先验 | \(\left\| {\bf{u}} \right\|_p^p\)或\(\left\| {\nabla {\bf{u}}} \right\|_p^p\) | 建模重尾分布；比 \({L_1}\) 更强稀疏性 | 非凸，优化更困难 |
| 二阶梯度先验 | 对曲率进行约束；促进整体平滑；避免阶梯效应 | 可能过度平滑边缘 | |
| 二阶全变分正则化 | \({\left\| {{\nabla ^2}{\bf{u}}} \right\|_1}\) | 结合边缘保持与曲率控制；避免阶梯效应 | 可能过度平滑边缘 |
| 支撑约束 | \(U\left( {\bf{r}} \right) = 0,{\rm{ }}{\bf{r}} \notin \Omega \) | 利用物体空间范围先验 |
对支撑误差敏感 HIO算法中常用 |
| 幅值约束 | \(\left| {\bf{u}} \right| \in \left[ {0,1} \right]\) | 物体不会对光场产生增强 |
可能过度抑制振幅 HIO算法中常用 |
| 深度图像先验 | \(U = {f_\theta }\left( \xi \right),{\rm{ }}\xi \sim {N}\left( {0,1} \right)\) | 由网络结构或训练数据隐式学习先验；正则能力强 | 计算开销大；依赖网络结构；需早停 |
| 神经场先验 | \(U = {f_\theta }\left( {\bf{r}} \right),{\rm{ }}{\bf{r}} \in {\mathbb{R}^n}\) | 函数空间先验；连续表示；分辨率无关；参数共享 | 计算复杂；优化非凸；对编码与网络敏感 |
经典的二次正则化方法，例如 Tikhonov 正则化或二阶平滑约束，倾向于产生整体平滑的解，并且由于其凸性，通常具有良好的优化性质。然而，这类方法往往会过度抑制高频信息与细节结构，因此在处理具有锐利边缘或局部细节的对象时表现受限。与之相比，促进稀疏性的先验模型，例如在物体本身或其梯度上施加的\({L_1}\)或者\({L_0}\)约束，旨在保持边缘结构并鼓励分段常数区域的形成。其中，基于\({L_1}\)的方法提供了良好的凸松弛形式，具有较好的计算性质，但在不连续区域附近可能引入偏差或收缩效应；而非凸模型（如\({L_0}\)或超拉普拉斯先验）能够更加真实地保持锐利结构，但同时也带来了更大的优化难度。
在众多先验模型中，基于梯度域的先验，尤其是全变分正则化，由于其在抑制噪声的同时能够保持边缘不连续性，已被广泛应用于相位恢复问题。这种有效性来源于自然图像梯度分布的重尾特性，如图 5 (b)所示，其显著偏离高斯分布，更适合用稀疏或超拉普拉斯模型如图 5 (c)进行刻画。因此，TV在实际重建中表现出良好的鲁棒去噪能力，见图 5 (f)。然而，TV 正则化也存在一定局限性，例如容易产生“阶梯效应”，并可能对平滑变化的相位分布造成失真，这通常表现为重建区域呈现分段常数结构。
值得注意的是，即使在高斯噪声条件下，不同先验模型之间仍然存在显著性能差异。如图5(f)所示，相较于经典的 TV 正则化，基于\(p = 0.5\) 的超拉普拉斯先验在重建质量上表现更优。这一现象可以从图像梯度的统计特性得到解释：如图5(b)所示，自然图的梯度分布呈现明显的重尾特性，更接近于 \(0 < p < 1\)的超拉普拉斯分布，而非 \(p = 1\)对应的拉普拉斯分布。该结果表明，先验模型的选择不仅影响优化形式，更本质上决定了对数据结构的建模能力。即使在相同的噪声条件下，选择与真实统计特性更匹配的先验分布，仍然能够显著提升重建性能。
需要特别指出的是，在椒盐噪声等非高斯噪声条件下，传统基于高斯假设的似然模型将不再适用。如图 5 (e)所示，椒盐噪声会在观测数据中引入大量离群点，其残差分布呈现出明显的重尾甚至双峰特性，显著偏离高斯分布。这意味着基于平方误差的高斯似然模型会对这些异常值赋予过高的权重，从而主导优化过程并导致重建结果严重退化。
具体而言，高斯似然对应的二次损失函数对大残差具有过强的惩罚，使得优化过程倾向于拟合异常噪声，而非真实信号结构。因此，即使引入较强的正则项，也难以恢复出合理的相位分布，如图 5 (f)所示，在椒盐噪声条件下基于高斯似然的重建结果仍然充满噪声伪影。
相比之下，更合理的做法是采用具有鲁棒性的似然模型，例如基于\({L_1}\)范数的数据一致性项。这类模型通过对大残差进行抑制或自适应加权，能够有效降低异常值对优化过程的影响，从而显著提升在非高斯噪声条件下的重建质量。如图 5 (f)所示，当采用更符合噪声统计特性的似然模型时，重建结果能够明显恢复出目标结构。因此相位恢复的性能不仅依赖于先验模型的选择，同样高度依赖于似然函数对噪声分布的准确建模。当噪声模型与真实数据分布不匹配时，优化目标将偏离正确的统计意义，从而导致重建失败。因此，在实际应用中，应根据具体噪声类型选择合适的似然模型，以实现数据一致性与鲁棒性的统一。
除了显式的函数型惩罚项之外，基于约束的先验（例如支撑约束与幅值约束）同样可以用于编码关于目标空间范围或吸收特性的物理知识。这类约束在投影类算法中尤为有效，但其性能往往对假设的支撑区域或幅值边界与真实情况之间的不匹配较为敏感。近年来，数据驱动与隐式先验逐渐受到关注。例如，深度图像先验（deep image prior）利用网络结构本身的归纳偏置，在无需训练数据的情况下实现对解的正则化；而神经场先验则通过神经网络对目标进行连续函数建模，具备分辨率无关性和较强的结构表达能力。尽管这些方法具有较强的表达能力，但通常会引入额外的非凸性、更高的计算复杂度，以及对网络结构设计与优化策略的敏感性。
总体而言，表 2 表明，相位恢复中的正则化并非简单的技术细节，而是一项决定重建精度、鲁棒性与计算复杂度的核心设计选择。传统的手工构造先验与现代的神经先验可以视为正则项\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)的不同实现形式，其主要差异体现在对解空间表达能力的刻画上。理解这些方法之间的权衡关系，对于在具体成像场景中选择或设计合适的先验模型至关重要，同时也推动了将物理约束与学习型表示相结合的混合方法的发展。
如图5所示，先验模型的选择本质上取决于对未知变量统计分布的建模方式。更具体而言，它反映了对目标内在结构的假设，即那些区别于噪声或异常扰动的本征特征。自然图像中普遍存在的重尾梯度分布，因而为稀疏性先验（如超拉普拉斯模型或全变分正则化）提供了重要的统计依据。
与此同时，似然模型同样起着关键作用。如图 5(f)所示，当测量数据受到椒盐噪声污染时，由于其统计特性显著偏离高斯分布，基于高斯假设的似然模型将无法准确描述观测数据的分布特征，即便增加正则化权重也难以获得理想的重建结果。这一现象表明，相位恢复的性能依赖于先验与似然之间的匹配关系：先验刻画的是目标的统计结构，而似然描述的是测量噪声特性，二者任一方面的不匹配都可能导致重建性能的下降。
综上所述，单独依赖似然或先验都难以可靠地解决相位恢复问题。似然项保证了与观测数据的一致性，但无法消除由相位缺失所带来的不适定性；先验项则约束了解的物理合理性，却不能确保与实际观测完全一致。因此，有效的重建方法必须同时满足两个基本要求：一方面与观测数据保持一致，另一方面符合先验知识所描述的结构约束。
基于上述分析可以看出，无论是先验模型还是似然模型，其本质都源于对数据生成机制的统计建模：前者刻画未知变量的内在结构分布，后者描述观测数据在给定模型下的随机性与噪声特性。当二者在统计意义上达到一致时，重建问题便不再是经验性的函数构造，而可以被统一地表述为一个概率推断问题。
最大后验概率估计
最大后验概率估计（maximum a posteriori, MAP）正是将似然模型与先验模型统一起来的概率推断框架。它试图回答的问题并不是“哪个解最能拟合观测数据”，也不是“哪个解最符合先验假设”，而是：在已经观测到强度数据\({\bf{I}}\)的条件下，哪个复光场\({\bf{u}}\)最可能同时解释这些测量并满足我们对目标结构的先验认知。
根据 Bayes 定理，未知复光场的后验分布可以写为
其中，\(P\left( {{\bf{I}}|{\bf{u}}} \right)\)是似然函数，描述在候选光场\({\bf{u}}\)给定时观测到强度\({\bf{I}}\)的概率；\(P\left( {\bf{u}} \right)\)是先验分布，用于描述未知光场本身的结构偏好；\(P\left( {\bf{I}} \right)\)是证据项，只与观测数据有关，在求解最优\({\bf{u}}\)时可视为常数。
MAP 估计选择使后验概率最大的候选解，即
为了将这一概率形式转化为便于优化的目标函数，通常对其取负对数。由于对数函数单调递增，最大化后验概率等价于最小化负对数后验：
令
则 MAP 估计可写成计算成像中最常见的正则化优化形式：
这里的\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right)\)是数据一致性项，由噪声统计和前向成像模型共同决定；\(\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)是正则项，对应于先验分布的负对数形式；\(\lambda\)用于调节二者之间的相对权重。在严格的概率模型中，\(\lambda\)可以由噪声方差、先验尺度参数等统计量诱导得到；在实际算法中，它也常作为控制重建保真度与平滑性、稀疏性或结构约束之间平衡的超参数。
这一推导揭示了一个重要事实：相位恢复中常见的“数据保真项 + 正则项”并不是随意拼接出来的经验目标函数，而是 Bayes 推断在负对数域中的自然结果。似然项负责让重建结果尽可能解释观测强度，先验项则负责在相位缺失、噪声扰动和模型不完美的情况下，将解限制在更合理的结构空间内。二者的关系类似拉力平衡：若过度强调似然，算法可能拟合噪声或异常测量；若过度依赖先验，重建结果又可能被过度平滑或偏离真实观测。
从这一角度看，最大似然估计（MLE）可以被视为 MAP 的一个特例。当先验分布为均匀分布时，\(-\log P\left( {\bf{u}} \right)\)为常数，MAP 退化为只最小化数据一致性项的 MLE。然而，由于相位恢复本质上是不适定且非凸的问题，仅依赖似然通常难以获得稳定结果，尤其是在单幅测量、低光子数、欠采样或存在模型失配时。因此，合理的先验并非锦上添花，而是使问题可解、稳定且物理可信的关键组成部分。
MAP 框架也为理解不同相位恢复算法提供了统一语言。经典的 Gerchberg-Saxton 算法可以看作在测量域与物体域之间交替满足约束：测量域的幅值替换对应于某种数据一致性约束，而物体域的支撑、非负性或幅值范围约束则对应于简单的硬先验。HIO 等反馈型投影算法进一步将硬投影变为带反馈的约束修正，从 MAP 视角看，可以理解为在数据一致性与先验可行域之间进行更柔性的折中。
现代优化型和学习型方法则将这种思想推向更一般的形式。基于 Wirtinger 梯度的相位恢复方法直接对\(\mathcal{F}\left( {\bf{u}} \right) + \lambda\mathcal{R}\left( {\bf{u}} \right)\)求导并迭代更新复光场；变分方法通过设计 TV、超拉普拉斯、二阶正则等先验来表达目标结构；plug-and-play、深度图像先验和神经场方法则将去噪器或神经网络结构视为隐式先验。尽管这些方法在算法形式上差异很大，但在 MAP 视角下，它们都可以被理解为对似然项、先验项以及优化策略的不同选择。
因此，MAP 并不是某一种具体算法，而是一种组织相位恢复问题的“语法”。它把前向物理模型、测量噪声、物体结构先验和数值优化方法放入同一个框架中，使我们能够系统地分析：数据项是否匹配真实噪声，先验项是否符合目标结构，二者权重是否合理，以及所采用的优化器是否能够有效处理非凸性和复变量梯度。对于实际计算成像系统而言，这种统一视角尤其重要，因为真实实验往往同时包含噪声、散射、部分相干、探测器缺陷、杂散光和模型误差。MAP 框架提供的不是一个固定答案，而是一套可扩展的设计原则：先写清楚数据如何生成，再写清楚对象可能长什么样，最后在二者之间寻找最可信的复光场。
